14 octubre, 2012

Cuidado con las ventosidades


En la asignatura de Bioquímica evolutiva en la UGR me hicieron esta pregunta “Si una mariposa mueve sus alas en Brasil ¿Podría originar un tornado en Granada?, discuta la pregunta”.

Mi respuesta más inmediata y con la que comencé a responder a esta pregunta fue:

“Debiéramos primero de considerar la importancia de ciertos factores como puedan ser, ¿Es importante el sitio exacto de Brasil donde la mariposa mueva las alas? ¿Nos dará igual un simple movimiento o el batir de las alas hará que sea más probable? ¿El color y tamaño de las alas importa así como la especie de mariposa que lo haga? Teniendo en cuenta todo esto y sabiendo que en Brasil hay millones de Mariposas y en Granada no hay muchos tornados que digamos… Es imposible de predecir"


A continuación obviamente procedí a contar las teorías de Edward Lorenz y la constante de Feigenbaum para que al menos tuviera algún motivo por el que ponerme una nota en el examen, pero la pregunta estaba correctamente contestada… Es imposible de predecir. Extendamos un poco más la explicación. 




La teoría del caos es como se denomina popularmente a una rama completa de las matemáticas y la física que trata de dar explicación y soporte a ciertos tipos de sistemas dinámicos que pueden llegar a ser muy sensibles a pequeñas perturbaciones.

En sistemas con un comportamiento totalmente predecible (sistemas determinísticos) sabiendo sus condiciones iniciales, puede ocurrir que con pequeñas variaciones en las condiciones iniciales, se puedan dar grandes diferencias en el comportamiento futuro del sistema. Esto hace que, a pesar de que son sistemas cuyo futuro es teóricamente predecible, las predicciones a largo plazo sobre ellas sean prácticamente imposibles.

Esto está muy bien, pero para los que como yo no sois matemáticos, ¿Qué leches es un sistema?. Pues bien, dice Santa Wiki que un sistema es un objeto compuesto cuyos componentes se relacionan con al menos algún otro componente. Estos sistemas pueden ser materiales o conceptuales. Todos los sistemas tienen composición, estructura y entorno, pero sólo los sistemas materiales tienen mecanismo y solo algunos de ellos figura. En matemáticas y en física se definen sistemas conceptuales, formales o ideales que son constructos compuestos por conceptos de cuatro diferentes tipos (1 - Individuos, 2 - predicados, relatores o atributos, 3 - conjuntos y 4 - operadores). Y hasta aquí les voy a explicar sobre sistemas porque básicamente es cuando me pierdo y no quiero meter la pata.

Un sistema dinámico es por tanto, un sistema que se mueve, que no está quieto. Dentro de los sistemas dinámicos existen los sistemas dinámicos estables, inestables y caóticos. Los sistemas estables son los más sencillos porque siempre tienden a un punto u órbita según su dimensión (atractor o sumidero). Un sistema estable se parece mucho a una onda o, si fuera así, a la tierra alrededor del sol manteniendo la órbita.

Representación de un sistema estable cuyo atractor es la línea de rayas del centro

Un sistema inestable es aquel que se escapa de los atractores, es decir, lo contrario de un estable. Y un sistema caótico sería aquel que manifiesta los dos comportamientos, hay un atractor hacia el que va el sistema, pero también hay fuerzas que lo alejan de éste. De esta forma, el sistema permanece confinado en una zona o región de su espacio de estados, pero sin tener un atractor fijo. Es en el caso de los sistemas caóticos en los que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales hacen que el sistema evolucione de una forma totalmente distinta y por tanto impredecible con sus ecuaciones características. En realidad, el sistema solar, las órbitas de planetas, las placas de la tierra, los fluidos en régimen turbulento e incluso el crecimiento poblacional… son todo sistemas dinámicos caóticos.
Representación de un sistema inestable donde se va alejando de cualquier atractor

Representación de un sistema caótico. El atractor sería el punto rojo de la izquierda

El más que famoso efecto mariposa al que se quería referir mi profesor de Bioquímica evolutiva con su pregunta, es un concepto que hace referencia a la noción del tiempo y a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría de caos. Es sin duda alguna un buen ejemplo para ilustrar un sistema dinámico caótico.

No es difícil imaginar que si una mariposa mueve sus alas en un sitio determinado y se encuentra en una situación de sistema caótico que se aleja del equilibrio y de todo atractor pero a la vez tiene atractores… podría originar un tornado tremendo en el otro lado del mundo cuyos coletazos lejanos, lleguen a mover levemente las alas de la mariposa de nuevo.

El nombre del famoso efecto proviene del proverbio chino que dice “El aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo”.


El meteorólogo y matemático Edward Lorenz pensó que si encontraba un modelo matemático que abarcara las predicciones meteorológicas, podría predecir el comportamiento de la atmósfera. En cierta ocasión Lorenz quiso revisar una simulación que ya había hecho en su ordenador para llevarla mas lejos del punto al que había llegado. Por ello, en lugar de reiniciar el sistema, introdujo manualmente los valores que ya tenía apuntados en su libreta y dejó a la máquina trabajar mientras fue a tomar un café (lo que yo hago cuando pongo una PCR vamos).



Después de una hora (menudos cafés se tomaba el tío), la máquina había simulado dos meses de predicción atmosférica (¿O era al revés?) y encontró que había valores de los días que había simulado anteriormente que no coincidían con los que había calculado esta vez. Algunos de los valores eran tan diferentes que le llevaron a comprobar la predicción una y otra vez.

En realidad la teoría del caos no es una teoría sino mas bien una rama entera del conocimiento que sigue abierta y que abarca muchas líneas de pensamiento y otras tantas teorías y principios. Además, entendemos el caos como ausencia de orden y en este caso no se aplica así, sino mas bien como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptible en forma concreta y precisa. Es decir, un tipo de orden de movimiento impredecible (decidle esto a vuestras madres o parejas si os vuelven a regañar por tener desordenado el dormitorio y quedaréis como dios)

Las ecuaciones que describen el clima atmosférico son las siguientes:

x´ = -ax + ax
y´= -xz + rx – y
z´= xy – bz


Donde x´, y´, z´ representan las primeras derivadas de las variables x, y, z. a, b y r son constantes relacionadas con el clima tales como la presión, la temperatura, etc. La solución gráfica es la que sigue:




Os suena de más arriba ¿Verdad? Efectivamente es un sistema dinámico caótico.

Al ser así, aunque conozcamos las condiciones climáticas iniciales, nunca podremos saber con exactitud como evoluciona el sistema. O mejor dicho, nunca podremos fijar las condiciones iniciales para que el sistema evolucione de una forma determinada puesto que al coger los datos siempre se comete un error, por pequeño que sea. Esto es lo que hace que las predicciones del tiempo a largo plazo carezcan de valor predictivo real. Cada día se mejora más en la toma de datos y las predicciones son más precisas, pero aún así queda mucho por hacer. 

Existe por tanto lo que se denomina un horizonte de predicciones, un límite práctico y válido para algunas predicciones a partir del cual las predicciones son erráticas e inexactas. Lorenz entonces puso un ejemplo muy sencillo que dijo en una conferencia y que a partir de ahí se tomo como la frase que representa la teoría del caos.

Lorenz dijo “Imaginen a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos tremendamente complejos y muy precisos y a partir de datos muy exactos. Aun así, la predicción podría ser totalmente errónea por no haber tenido en cuenta por ejemplo, el aleteo de una mariposa al otro lado del mundo” 

Se podrán imaginar que de este ejemplo entendible, a la famosa frase de la mariposa… va un mundo. Pero como además coincide que la representación gráfica parece tener alas, y los proverbios chinos parecen tener que ser ciertos siempre… pues ale, otra frase inventada que no dijo su autor y que ha pasado a la historia (igual que la frase de la tontería de Claude Chabrol Explicada en el apartado sobre este blog)

Esta famosa teoría del caos y sus implicaciones han sido mencionadas y requetemetidas una y otra vez en cientos de películas como Babel; Corre, Lola, Corre; La máquina del tiempo; Jurassic Park; los crímenes de Oxford y como no, en El efecto Mariposa.


Los fractales son objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Los fractales en cierta medida siguen la teoría del caos. Pero de fractales hablaré en otro momento y así os cuento quien es Mandelbrot y que tiene que ver con la imagen de cabecera de este blog y con los Romanescu.




Claro, ahora querréis saber que tiene que ver el nombre del post con lo que he explicado ¿No? Pues a que imaginaros que de verdad el movimiento del ala de una mariposa provoque un tornado en Granada. El día del terremoto de Lorca me sentí muy culpable por tener gases. Pero sabiendo que es imposible de demostrar que lo ocasionara yo… me quedé mucho mas tranquilo.



Otros que han hablado de este tema son  AngelJuan de MairenaCPIHistorias de la Ciencia